王軍峰1，徐越群1，蔡承才2
1.石家莊鐵路職業技術學院，河北 石家莊 050061；2.石家莊鐵道大學，河北 石家莊 050043
摘 要：塑料薄膜製造中吹塑機的張力控製是決定塑料薄膜厚度、強度和質量的一個重要因素。針對吹塑機的張力控製係統的一階積分時滯模型，提出一種新的基於MDP方法的PID控製器。基於一個假設，即多主導極是正的、穩定的，並且過程控製係統無振蕩，同時需要假設非主導的極點或者零點對控製過程的影響不顯著。為了提高伺服性能，降低超調量，在PID控製結構中使用了設定點權重參數。控製過程簡潔，控製器參數以表達式的形式給出。仿真案例實驗結果表明，設計具有良好的追蹤性能和調節性能，並且魯棒性良好，適用於張力控製。
關鍵詞：吹塑機；張力控製；PID控製器；MDP；設定點權重參數
塑料薄膜在我國的產量約占全部塑料製品產量的20%，同時塑料薄膜的生產量增漲速度在所有塑料製品中最快[1]，各行各業對塑料薄膜的需求量也在逐年增長[2]。塑料薄膜應用範圍十分廣泛，涉及農 業[3]、工業[4]、商業以及人們日常生活中的方方麵麵[5]。
塑料薄膜在製造過程中，首先需要把塑料材料加熱熔融，使用各種方法將其塑造成膜狀[6]。這些方法包括壓延法[7]、拉伸法[8]和吹塑法[9]。其中吹塑法需要將塑料熔融材料進行縱向和橫向的雙向拉伸，因此製造出的塑料薄膜強度較好，是應用最廣泛的塑料薄膜成型方 法[10-11]。
在吹塑機的工作過程中，最關鍵的技術就是其張力控製係統的控製[12]，它決定了塑料薄膜產品的厚度、均勻程度、強度和品質[13]。目前，國內的大中型塑料薄膜生產製造商使用的吹塑機大多依賴進口[14]。因此針對塑料薄膜製造研究吹塑機的張力控製意義重大。
目前工業中大多采用PID控製結構，吹塑機的張力控製也是如 此[15]。PID控製器不僅能夠通過合理設計提高張力控製精度，其較強的擾動抑製性也能使得吹塑機在電磁擾動等各種擾動情況下依舊維持穩定運行[16]。目前，各種文獻中記載了很多種關於設計PID控製器的方法，如直接綜合法[17]、Z-N法[18]、頻域法[19]、實證法[20]、內模控製法[21]、等值係數法[22]、二自由度控製法[23-24]、穩定分析法[25]和各種最優化算法[26-27]等。這些方法具有一定的優點，比如直接綜合法設計過程簡單明了、計算量少，但是對於擾動性能的提高有一定局限性[28]；Z-N法是最經典的方法，操作簡單，但是性能較差[29]；內模控製法雖然性能優良，但是計算過程較為繁複，使用條件較為苛刻，普適性較差；最優算法編程複雜，且存在大量迭代和模擬驗證過程。
本研究針對塑料薄膜生產中的吹塑機的張力控製係統，提出一 種新的基於MDP(Multiple Dominant Pole-placement)的PID控製器的設計方法。這種方法基於一個假設，即存在多主導極點，並且其是正的、穩定的，過程控製無振蕩。同時，需要假設非主導的極點或者零點對控製過程的影響不顯著。這種方法過程簡潔，控製器參數將以表達式的形式給出，控製效果良好，適用於張力控製係統的設計。
01 方法設計
1.1 PID控製結構的設計
圖1為所設計的PID控製結構。
圖1中，r為期望變量；e為控製誤差；u為操縱變量；d為擾動量；y為被控變量；Gc(s)為PID控製器；Gp(s)為過程係統模型。
多主導極點S*p + 1 可以通過式(1)得到：
式（1）中：N(s)為針對有時滯的或者沒有時滯的過程係統與PID控製器組成的閉環控製係統特征擬多項式；p為控製器的可調整參數的數量。
圖1中的過程係統模型Gp(s) 將由式（2）表示：
吹塑機的張力控製係統屬於一階積分係統，將式（2）細化為式（3）：
PID控製器的傳遞函數為：
式中：G (s)為過程傳遞函數去掉時滯的部分；kc為控製器增益；TI為積分時間；TD為微分時間；Kp為控製器增益；Td為過程滯後時間。
1.2 基於MDP方法的PID控製算法
根據係統方程(1)的過程係統方程(2)和標準PID控製器(4),可以得到四重主導極點S*4和3個可調整參數K*P，T*I，T*D， 過程係統(2)的近似係統傳遞函數和標準PID控製器(4)將通過MDP方法調整為:
式(5)中的擬多項式是Hurwitz多項式，它的零點加速了瞬態過程並且產生了伺服響應中不被許可的過大超調量，對於標準的PID控製器，假設式(5)的相等關係恒定，當出現下麵不平等關係時，超調量將出現：
對於積分係統式(6)的不平等關係將一直成立，因此伺服響應中的超調量不能被移除。事實上，標準的PID控製器在控製積分係統時，不能實現沒有超調量的伺服響應也許能以另一種方式實現。
標準PID控製器和積分過程係統組成的閉環係統的控製誤差，在期望輸入變量 r(t) =r0的作用下將表示為：
因為在控製區域它將成立以下關係：
顯然，伺服響應無法實現無超調量。對式（8）解釋如下：伺服響應超過和低於r(t) =r0的中線區域是相等的。這個結論不僅對於MDP方法設計的控製係統，還廣泛適用於所有的積分係統。因此考慮在輸入信號後麵加入設定點權重參數，以減小超調量並加快響應速度。
Arbogast等[30]和Begum等[31]使用了設定點權重參數，這樣使得閉環傳遞函數零點從虛軸移除並且減少了超調量和穩定時間。ε作為設定點權重參數，在選擇它時要求閉環係統響應沒有超調和設置時間並且響應曲線是平滑的。因此ε應該設定在0~1這個範圍之內。一般來說ε值大(接近於1)，在設定點響應的時候會產生很大的超調量，而ε值小的時候，係統響應會變慢。Begum等[31]中經過大量的仿真研究提出，常規設定點權重參數ε=0.4時效果最佳。區別於常規PID，本研究將設定點權重參數設為ε=0.5以提高追蹤性能。
表1為通過MDP方法計算得到的PID的可調整參數。表1為通過MDP方法計算得到的PID的可調整參數。
02 實例仿真
進行了一個由吹塑機張力控製係統一階積分時滯係統模型來進行PID控製器的設計：
據MDP方法計算得到的參數為：
圖2為所有對比方法的伺服響應和調節響應圖；圖3為閉環係統的方波響應圖；圖4為在時間常數k1過程係統模型比例常數由1變為2時的閉環響應曲線圖，即失配情形1；圖5為在時滯參數Td由1變為1.4時的閉環響應曲線圖，即失配情形2；圖6為在時間參數T1由8變為9時的閉環響應曲線圖，即失配情形3。
從圖2可以看出，相比於PI控製器和使用Z-N法的PID控製器，本研究所采用的方法的伺服性能和擾動抑製性能最好，同時具有快速的上升時間和最小的超調量。相反PI控製器所在閉環係統的伺服響應最大的超調量，同時其擾動性能最差。使用Z-N法的PID控製器同樣具有較差的調節性能，其伺服性能比PI控製器的稍微好一些。
由圖3的方波響應圖可以觀察到，本研究所采用的方法在跟隨給定信號的能力方麵均優於常規PI控製器和使用Z-N法整定參數的PID控製器。
圖4、圖5和圖6均給過程模型增加不同的攝動，以觀察各種控製器在係統模型失配的情形下響應效果，可以看出即使在係統參數不穩定的情形下，本研究所采用的方法依舊表現出最佳的伺服性能和擾動抑製性能及良好的魯棒性能。
3 結論
本研究探討了塑料薄膜生產中的吹塑機的張力控製係統的魯棒控製，在現有文獻研究的基礎上，提出了一種新的基於MDP方法的PID控製器的設計方法。基於一個假設，即存在一個穩定的實主導極點並且過程控製結構是無振蕩的。同時，需要假設非主導的極點或者零點對控製過程的影響不顯著。為了得到多主極點和PID控製器的可調參數，利用Matlab求解多組特征方程對s的各階導數而組成的聯立方程組。在吹塑機的張力控製係統的一階積分時滯係統下進行了仿真實驗，結果表明，本方法具有良好的追蹤性能和調節性能，並且魯棒性較好，非常適用於張力控製係統的設計。後續研究中將考慮使用優化算法，比如粒子群算法，遺傳算法等結合多主導極點控製方法，使得所得到的控製器性能更加良好，此外將添加更多的優化目標，使得所設計的控製器更加適用於張力控製係統。
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